جدول روبه‌رو را کامل کنید.
مجموعهٔ زوج‌های مرتب حاصل در جدول مقابل یک تابع به صورت زیر مشخص می‌کند:
$$f = \left\{(0, 0), \left(\frac{\pi}{6}, \dots\right), (\dots, \dots), (\dots, \dots), (\dots, \dots)\right\}$$
نقاط حاصل در جدول را در شکل زیر مشخص کنید.
| $x$ | $y = \sin x$ | مختصات نقطه |
| :---: | :---: | :---: |
| $0$ | $0$ | $(0, 0)$ |
| $\frac{\pi}{6}$ | $\dots$ | $\dots$ |
| $\frac{\pi}{2}$ | $\dots$ | $\dots$ |
| $\frac{5\pi}{6}$ | $\dots$ | $\dots$ |
| $\pi$ | $\dots$ | $\dots$ |
این فعالیت به رسم نمودار تابع سینوس $y = \sin x$ در بازهٔ $[0, \pi]$ می‌پردازد.
## ۱. تکمیل جدول مقادیر
| $x$ | $y = \sin x$ | مختصات نقطه |
| :---: | :---: | :---: |
| $0$ | $0$ | $(0, 0)$ |
| $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{1}{2}$ | $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{1}{2}\right)$ |
| $\frac{\pi}{2}$ | $1$ | $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ |
| $\frac{5\pi}{6}$ | $\sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ | $\left(\frac{5\pi}{6}, \frac{1}{2}\right)$ |
| $\pi$ | $0$ | $(\pi, 0)$ |
## ۲. مجموعهٔ زوج‌های مرتب
$$f = \left\{(0, 0), \left(\frac{\pi}{6}, \mathbf{\frac{1}{2}}\right), \left(\mathbf{\frac{\pi}{2}}, \mathbf{1}\right), \left(\mathbf{\frac{5\pi}{6}}, \mathbf{\frac{1}{2}}\right), (\mathbf{\pi}, \mathbf{0})\right\}$$
## ۳. مشخص کردن نقاط در شکل
نقاط $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{6}, \frac{1}{2})$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\frac{5\pi}{6}, \frac{1}{2})$ و $(\pi, 0)$ را باید روی دستگاه مختصات مشخص کرد.
مراحل صفحهٔ قبل را برای رسم نمودار تابع سینوس در بازهٔ $[\pi, 2\pi]$ انجام دهید. برای این کار ابتدا جدول زیر را کامل کنید؛ سپس نقاط به دست آمده در جدول را در صفحهٔ مختصات مطابق شکل زیر مشخص و آن‌ها را به ترتیب به یکدیگر وصل کنید.
| $x$ | $y = \sin x$ | مختصات نقطه |
| :---: | :---: | :---: |
| $\pi$ | $0$ | $(\pi, 0)$ |
| $\frac{7\pi}{6}$ | $\dots$ | $\dots$ |
| $\frac{3\pi}{2}$ | $\dots$ | $\dots$ |
| $\frac{11\pi}{6}$ | $-\frac{1}{2}$ | $\dots$ |
| $2\pi$ | $\dots$ | $\dots$ |
این فعالیت به رسم نمودار تابع سینوس $y = \sin x$ در بازهٔ $[\pi, 2\pi]$ می‌پردازد. در این بازه، مقادیر $\sin x$ منفی یا صفر هستند.
## ۱. تکمیل جدول مقادیر
| $x$ | $y = \sin x$ | مختصات نقطه |
| :---: | :---: | :---: |
| $\pi$ | $0$ | $(\pi, 0)$ |
| $\frac{7\pi}{6}$ | $\sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$ | $\left(\frac{7\pi}{6}, -\frac{1}{2}\right)$ |
| $\frac{3\pi}{2}$ | $-1$ | $\left(\frac{3\pi}{2}, -1\right)$ |
| $\frac{11\pi}{6}$ | $-\frac{1}{2}$ | $\left(\frac{11\pi}{6}, -\frac{1}{2}\right)$ |
| $2\pi$ | $0$ | $(2\pi, 0)$ |
## ۲. مشخص کردن نقاط و رسم نمودار
نقاط $(\pi, 0)$, $(\frac{7\pi}{6}, -\frac{1}{2})$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(\frac{11\pi}{6}, -\frac{1}{2})$ و $(2\pi, 0)$ را روی دستگاه مختصات مشخص کرده و به ترتیب به هم وصل می‌کنیم. این قسمت، بخش کاهشی موج سینوسی را نشان می‌دهد.
با توجه به شکل‌های فوق، نمودار تابع با ضابطهٔ $y = \sin x$ در بازهٔ $[0, 2\pi]$ رسم شده است. حال با توجه به این شکل، جدول زیر را دربارهٔ مقدار این تابع در هر بازه تکمیل کنید.
| بازهٔ $x$ | $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ | $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ | $\left[\pi, \frac{3\pi}{2}\right]$ | $\left[\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right]$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| مقدار تابع سینوس | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ |
| مقدار تابع سینوس در ربع اول مثبت است | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ |
جدول زیر وضعیت تغییرات (افزایش/کاهش) و علامت (مثبت/منفی) تابع سینوس را در هر یک از چهار ربع دایرهٔ مثلثاتی (که با بازه‌های محوری متناظرند) نشان می‌دهد.
| بازهٔ $x$ | $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ (ربع اول) | $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ (ربع دوم) | $\left[\pi, \frac{3\pi}{2}\right]$ (ربع سوم) | $\left[\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right]$ (ربع چهارم) |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| **تغییرات** | **از $0$ به $1$ افزایش می‌یابد.** | **از $1$ به $0$ کاهش می‌یابد.** | **از $0$ به $-1$ کاهش می‌یابد.** | **از $-1$ به $0$ افزایش می‌یابد.** |
| **علامت** | **مثبت است.** | **مثبت است.** | **منفی است.** | **منفی است.** |
با توجه به شکل بالا جاهای خالی را دربارهٔ ویژگی‌های تابع سینوس با ضابطهٔ $y = \sin x$ کامل کنید.
الف) دامنهٔ تابع سینوس $\dots$ و برد آن $\dots$ است.
ب) مقدار تابع سینوس در طول‌های $x = k\pi, k \in \mathbb{Z}$, برابر $\dots$ است.
پ) حداکثر مقدار تابع سینوس برابر با $\dots$ است که در نقاطی به طول‌های $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$ به دست می‌آید و در حالت کلی $x = \dots, x = \dots, x = \dots, \dots$
ت) حداقل مقدار تابع سینوس برابر با $\dots$ است که در نقاطی به طول‌های $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$ به دست می‌آید و در حالت کلی $x = \dots, x = \dots, x = \dots, \dots$
## الف) دامنه و برد
نمودار تابع سینوس $y = \sin x$ برای تمام اعداد حقیقی تعریف شده است و در محور $y$ بین $-1$ و $1$ نوسان می‌کند.
$$\text{دامنهٔ تابع سینوس}: \mathbf{\mathbb{R}} \quad \text{و برد آن}: \mathbf{[-1, 1]} \text{ است.}$$
## ب) ریشه‌های تابع سینوس
تابع سینوس در تمام مضرب‌های صحیح عدد $\pi$ برابر صفر است.
$$\text{مقدار تابع سینوس در طول‌های } x = k\pi, k \in \mathbb{Z}, \text{ برابر } \mathbf{0} \text{ است.}$$
## پ) حداکثر مقدار (ماکزیمم)
حداکثر مقدار تابع سینوس برابر $1$ است.
$$\text{حداکثر مقدار تابع سینوس برابر با } \mathbf{1} \text{ است که در نقاطی به طول‌های } x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \text{ به دست می‌آید.}$$
$$\text{در حالت کلی، این نقاط عبارتند از}: x = \mathbf{\frac{\pi}{2}}, x = \mathbf{\frac{5\pi}{2}}, x = \mathbf{-\frac{3\pi}{2}}, \dots$$
## ت) حداقل مقدار (مینیمم)
حداقل مقدار تابع سینوس برابر $-1$ است.
$$\text{حداقل مقدار تابع سینوس برابر با } \mathbf{-1} \text{ است که در نقاطی به طول‌های } x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \text{ به دست می‌آید.}$$
$$\text{در حالت کلی، این نقاط عبارتند از}: x = \mathbf{\frac{3\pi}{2}}, x = \mathbf{-\frac{\pi}{2}}, x = \mathbf{\frac{7\pi}{2}}, \dots$$
